Vedi la probabilità
prendere forma.
Simula distribuzioni, lancia migliaia di campioni e osserva teoremi fondamentali emergere in tempo reale. Muovi gli slider, premi avvia, lascia che i dati si accumulino.
Funzione di massa di probabilità
Confronta la PMF teorica (contorno blu) con la frequenza dei campioni simulati (barre piene). Cambia i parametri o lancia migliaia di estrazioni. Trascina sul grafico per misurare P(a ≤ X ≤ b).
Densità di probabilità
La curva mostra la densità teorica; le barre sono l'istogramma normalizzato dei campioni. Più estrazioni → meglio approssima. Trascina sul grafico per l'area P(a ≤ X ≤ b).
Le medie diventano normali
Estrai n valori da una distribuzione qualsiasi e calcola la media. Ripeti migliaia di volte: la distribuzione delle medie tende a una gaussiana, anche se la sorgente non lo è.
Con n=1 vedi la distribuzione originale. Aumentando n la curva delle medie si stringe e si fa simmetrica.
La media converge al valore atteso
Lancia una moneta o un dado all'infinito: la media campionaria oscilla all'inizio e si stabilizza sul valore teorico man mano che le prove crescono (asse orizzontale logaritmico).
Stimare π con la casualità
Lancia punti a caso in un quadrato 2×2. La frazione che cade nel cerchio inscritto vale circa π/4: moltiplica per 4 e ottieni una stima di π che migliora con i punti.
Dal caso alla campana
Ogni pallina rimbalza a sinistra o destra a ogni chiodo. Sommando tanti percorsi casuali (binomiali) le palline si distribuiscono come una gaussiana nei contenitori in basso.
Il paradosso del test diagnostico
Anche un test molto accurato può dare pochi malati tra i positivi, se la malattia è rara. Il diagramma ad aree mostra le quattro categorie: la probabilità a posteriori P(malato | positivo) è l'area arancione sul totale dei positivi.
Correlazione tra due variabili
Campiona coppie (X, Y) da una normale bivariata. Il coefficiente ρ governa quanto le due variabili si muovono insieme: a ρ=0 la nuvola è circolare, verso ±1 collassa su una retta.
Le linee tratteggiate sono le medie; l'ellisse mostra la regione di concentrazione al variare di ρ.
Eventi casuali nel tempo
Gli eventi arrivano a un tasso medio λ al secondo, con tempi di attesa esponenziali e indipendenti. Avvia il processo e guarda gli istanti accumularsi sulla linea temporale; il conteggio per intervallo segue una Poisson.
Stati che si evolvono nel tempo
Tre stati meteo — Sole, Nuvole, Pioggia — con probabilità di transizione fisse. Il prossimo stato dipende solo dall'attuale. Lascia camminare il sistema: la frequenza di visita converge alla distribuzione stazionaria.
Intervalli di confidenza
Da ogni campione di n osservazioni (vera media μ=0) si costruisce un intervallo. Il livello di confidenza è la frazione di intervalli che, ripetendo l'esperimento, contengono μ. Genera tante repliche e confronta la copertura osservata con quella nominale.
In rosso gli intervalli che non contengono la vera media. La riga tratteggiata in ambra è μ.
Test d'ipotesi e potenza
Test z bilaterale su H₀: μ=0. La curva neutra è la distribuzione sotto H₀, quella colorata sotto la verità (μ≠0). L'area in rosso oltre ±z* è il livello α (falsi positivi); la frazione di curva vera che vi cade è la potenza. Lancia tanti test e confronta i rifiuti osservati con la potenza teorica.
Distribuzioni t e χ²
Le distribuzioni campionarie fondamentali. La t di Student governa le medie quando la varianza è stimata; la χ² descrive somme di quadrati di normali. Genera campioni e guarda l'istogramma adagiarsi sulla densità teorica.
La curva tratteggiata in ambra è la normale standard: la t la raggiunge al crescere di ν.
Regressione lineare
I dati nascono da y = β·x + rumore. La retta ai minimi quadrati (piena) stima la relazione vera (tratteggio in ambra). Aggiungi punti e regola il rumore: più dispersione o meno dati rendono la stima più incerta e abbassano R².